Sea $f(x)=\ln (x+1)$. Encuentre un polinomio $p(x)$ de grado 3 tal que $p(0)=f(0), p^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), p^{\prime \prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)$ y $p^{\prime \prime \prime}(0)=f^{\prime \prime \prime}(0)$.

Compruebe que el polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f(x)=e^{x}$ es $p(x)=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$.

Si el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5 en $x=2$ es $p(x)=(x-2)^{5}+3(x-2)^{4}+3(x-2)^{2}-8$, calcule $f^{(4)}(2)$ y $f^{(\prime \prime \prime)}(2)$. ¿Se puede conocer el valor de $f^{(6)}(2)$? ¿Cuánto vale $f^{(6)}(2)$ si el polinomio $p$ es de orden 7?

Los polinomios de Taylor de orden 4 en $x=2$ de las funciones $f$ y $g$ son, respectivamente $p(x)=-2+3(x-2)-3(x-2)^{2}+(x-2)^{3}$ y $q(x)=5+12(x-2)^{2}-7(x-2)^{4}$. Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de $t(x)=f(x)g(x)$ y $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ en $x=2$.